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Cette courbe est la densité de probabilité de la loi normale, c'est-à-dire que l'aire sous la courbe vaut 1. Le rôle central de cette loi de probabilité vient du fait qu'elle est la limite d'un grand nombre de lois de probabilité définies à partir de sommes, comme le montre le théorème central limite. Une autre manière visuelle de voir apparaître cette courbe est réalisée par la planche de Galton. Des billes sont lâchées en haut de la planche, à chaque étage elles ont deux possibilités: Lorsque le nombre de billes est grand, la répartition des billes suivant leur position est approximativement une loi normale.

Comme pour toute loi de probabilité, plusieurs définitions équivalentes de la loi normale existent: La loi normale dépend de deux paramètres: Beaucoup de grandeurs physiques peuvent être représentées par ces deux paramètres [ 5 ].

Lors de l'étude statistique d'une série d'observations d'une même grandeur, la moyenne des valeurs observées peut être considérée comme aléatoire et de loi normale. Il s'agit de pouvoir obtenir une approximation de la grandeur observée dans l'expérience en considérant les erreurs dues aux instruments de mesures ou autres [ 2 ]. Une des premières apparitions de la loi normale est due [ a 1 ] à Abraham de Moivre en en approfondissant l'étude de la factorielle n!

Il publie The Doctrine of Chances en dans lequel la loi normale apparaît comme limite d'une loi binomiale , ce qui sera à l'origine du théorème central limite [ a 2 ].

En , Pierre-Simon de Laplace reprend ces travaux et obtient une bonne approximation de l'erreur entre cette loi normale et la loi binomiale grâce à la fonction gamma d'Euler [ a 1 ].

Dans son ouvrage publié en , Laplace donne une première table de cette loi. En , Carl Friedrich Gauss assimile des erreurs d'observation en astronomie à la courbe, dite des erreurs, de la densité de la loi normale [ a 2 ].

La loi normale est alors pleinement définie lorsque le premier théorème central limite , alors appelé théorème de Laplace , est énoncé par Laplace en [ a 1 ]. Ainsi, de nouvelles tables numériques sont données en par Egon Sharpe Pearson , en par le National Bureau of Standards [ 10 ] et en par Greenwood et Hartley [ 11 ]. C'est une loi absolument continue , c'est-à-dire que la mesure est absolument continue par rapport à la mesure de Lebesgue.

Elle est généralisée par la loi normale multidimensionnelle. La loi normale centrée réduite est appelée loi normale standard [ 12 ]. Cette loi est dite centrée puisque son moment d'ordre 1 espérance vaut 0 et réduite puisque son moment d'ordre 2 variance vaut 1, tout comme son écart type.

Quelques remarques et propriétés immédiates voir également les propriétés ci-dessous:. Historiquement, la loi normale est apparue comme la loi limite dans le théorème central limite à l'aide de sa fonction de répartition.

Il est alors utile de définir la loi par cette fonction. La caractérisation de la loi normale par sa fonction caractéristique présente un intérêt pour démontrer certaines propriétés, comme la stabilité par addition ou le théorème central limite.

Cette fonction caractéristique est égale, à une constante multiplicative près, à la densité de probabilité de la loi: C'est donc une variable aléatoire de loi normale de moyenne b et de variance a 2. Une autre manière de définir la loi normale est par l'utilisation de sa fonction génératrice des moments M: Cette fonction, qui se calcule à partir de la fonction de densité [ b 1 ] et caractérise la loi, est donnée par [ 21 ]: On retrouve ainsi les valeurs des moments m n voir supra.

Plus généralement que la loi normale centrée réduite, la loi normale non centrée et non réduite est la loi de probabilité absolument continue dont l'un des quatre points suivants est vérifié:.

Ce cas correspond à un comportement dégénéré de la loi normale, parfois appelée la loi normale impropre [ 22 ]. En addition de la densité de probabilité, de la fonction de répartition, de la fonction caractéristique et de la fonction génératrice des moments, il existe d'autres caractérisations de la loi normale.

Il est alors également intéressant d'obtenir les moments centrés de la loi normale, ils sont donnés par [ 28 ]:. Les premiers moments de la loi normale sont alors [ 30 ]: Des moments d'ordre pairs de la loi normale centrée réduite voir supra , on déduit la formule des moments centrés: Quant aux moments ordinaires, leur fonction génératrice permet d'établir la relation de récurrence [ b 3 ]:.

La loi normale sert de point de référence pour la comparaison des épaisseurs de traîne: La première version du théorème central limite, appelé alors théorème de Moivre-Laplace , a été énoncée dans le cas de variables aléatoires de loi de Bernoulli. De manière plus générale, si X 1 , X 2 , Ce théorème signifie que tout ce qui peut être considéré comme étant la somme d'une grande quantité de petites valeurs aléatoires indépendantes et identiquement distribuées est approximativement de loi normale [ 33 ].

Ceci montre le caractère central de la loi normale en théorie des probabilités. Un énoncé physique de ce théorème peut être formulé [ 34 ]: Si une grandeur physique subit l'influence additive d'un nombre important de facteurs indépendants et si l'influence de chaque facteur pris séparément est petite, alors la distribution de cette grandeur est une distribution gaussienne.

Ce théorème central limite est valide pour toute loi de probabilité initiale des variables iid X 1 , X 2 , Il existe des versions plus générales de ce théorème, par exemple en considérant des variables aléatoires indépendantes, pas de même loi mais ayant des variances petites comparées à celle de leur moyenne [ 37 ].

Un théorème de Gnedenko et Kolmogorov stipule qu' une variable aléatoire normale est la somme d'un grand nombre de variables aléatoires indépendantes petites dont aucune n'est prépondérante:. La loi normale est stable par additivité [ a 2 ] , c'est-à-dire que la somme de deux variables aléatoires indépendantes de lois normales est elle-même une variable aléatoire de loi normale.

Cette propriété se démontre directement au moyen des fonctions caractéristiques. La densité de probabilité de la somme de deux variables indépendantes de loi normale est donnée par la convolution des deux densités. Il ne faut pas confondre avec la loi dont la densité est la somme de densités de lois normales voir la section Constructions à partir de la loi normale ci-dessous.

La famille de fonctions est fermée pour la convolution au sens où [ 40 ]: Les trois théorèmes suivants donnent plus de précisions mathématiques. La loi normale est stable par linéarité: La loi normale est stable par moyennisation, c'est-à-dire si X 1 , X 2 , L' entropie de Shannon d'une loi de probabilité absolument continue de densité donnée par f permet de mesurer une quantité d'information et est définie par: L'entropie maximum, pour une loi normale donc, est donnée par: Ainsi la théorie de maximisation de l'entropie dit que, même si elle n'est pas la meilleure loi adaptée aux valeurs, la loi normale ajustée aux valeurs est adéquate pour prendre une décision.

Il y a également une connexion entre la convergence de suites de lois de probabilité vers la loi normale et la croissance de l'entropie, ce qui en fait un outil majeur dans la théorie de l'information [ a 2 ]. L' information de Fisher d'une loi à densité de probabilité est une autre notion de quantité d'information. Pour une densité f , elle est donnée par: La loi normale se distingue des autres densités puisque l'inégalité précédente est une égalité si et seulement si la densité est celle de la loi normale centrée réduite [ a 2 ].

La divergence de Kullback-Leibler entre deux lois permet de mesurer une distance entre les deux lois, ou une perte d'information entre les deux lois. Cependant la fonction de répartition apparaît dans plusieurs résultats à vocation à être appliqués, il est donc important de mieux cerner cette fonction.

Différentes écritures sous forme de séries ou de fractions continues généralisées sont possibles [ 44 ]. Voici un exemple d'algorithme [ a 4 ] pour le langage C:. Une autre écriture de la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite utilise une fraction continue généralisée [ a 4 ]: Des tables de valeurs ont alors été calculées pour la fonction de répartition, mais également pour son inverse , ce qui permet d'obtenir les quantiles et les intervalles de confiance pour un seuil de tolérance fixé.

Les valeurs en début de lignes donnent la première partie de la variable, les valeurs en début de colonnes donnent la deuxième partie. Ainsi la case de la deuxième ligne et troisième colonne donne: Les valeurs en début de ligne donne la première partie de la variable, les valeurs en début de colonne donne la deuxième partie.

Cette table donne les valeurs des quantiles pour p grand. Les tables sont données pour les valeurs positives de la loi normale centrée réduite. Grâce aux formules de la fonction de répartition, il est possible d'obtenir d'autres valeurs.

Par exemple [ 48 ]: Un des intérêts de calculer des probabilités sur des intervalles est l'utilisation des intervalles de confiance pour les tests statistiques. La loi normale est définie par deux valeurs: La table suivante s'obtient grâce aux tables précédentes [ 49 ] et donne les probabilités: Cette table de valeurs des intervalles de confiance permet d'obtenir les plages de normalité pour un niveau de confiance donné.

Grâce à son rôle central parmi les lois de probabilité et dans les applications, la loi normale possède beaucoup de liens avec les autres lois. Certaines lois sont même construites à partir de la loi normale pour mieux correspondre aux applications.

Il est à noter que la loi inverse-gaussienne et loi inverse-gaussienne généralisée n'ont pas de lien avec une formule simple créée à partir de variables de loi normale, mais ont une relation avec le mouvement brownien.

Plusieurs généralisations de la loi normale ont été introduites afin de changer sa forme , son asymétrie , son support , etc. Il existe une manière de changer l'asymétrie de la loi normale afin d'obtenir la loi dite loi normale asymétrique skew normal distribution en anglais [ a 14 ]. La densité de cette loi est donnée par: Afin de changer le support de la loi normale et notamment de le rendre borné, une modification possible de la loi est de la tronquer.

Elle est alors changée d'échelle pour que les parties coupées se répartissent sur l'ensemble des valeurs gardées à la différence de la loi repliée, voir ci-dessous. Il est également possible de tronquer la loi normale d'un seul côté. La densité de probabilité de la loi normale repliée en 0 est donnée par [ a 17 ]: Une version généralisée de la loi log-normale permet d'obtenir une famille de lois comprenant la loi normale comme cas particulier [ 55 ].

La famille est définie à partir de trois paramètres: La densité est donnée par: Un mélange gaussien est une loi de probabilité dont la densité est définie par une combinaison linéaire de deux densités de lois normales. Il ne faut pas confondre la combinaison linéaire de deux variables aléatoires indépendantes de loi normale, qui reste une variable gaussienne, et la combinaison linéaire de leurs deux densités, qui permet d'obtenir une loi qui n'est pas la loi normale.

Harald Cramér énonce en un résultat général [ 57 ]: Historiquement, la loi normale est introduite lors d'études d' objets célestes ou de jeux de hasard. Elle est ensuite étudiée et généralisée mathématiquement puis elle est utilisée dans de nombreuses autres applications: Voici une sélection d'exemples.

Il est observé que la direction et la portée sont assimilables à des lois normales [ a 18 ]. Cette compréhension permet de mieux entraîner les servants pour régler les tirs. Cette loi normale provient de différents facteurs comme les conditions climatiques, mais également de l'usure du matériel militaire.

La dispersion des points d'impact, et donc de la loi, renseigne sur l'état du matériel et sur le nombre éventuel de tirs anormaux. L'ajustement à la loi normale est alors effectué par le test de Lhoste sur une série de tirs.

Le quotient intellectuel QI a pour objectif de donner une valeur numérique à l' intelligence humaine. En , David Wechsler donne une définition à ce quotient de manière statistique. Une note de est donnée à la moyenne des valeurs obtenues dans une population de même âge et 15 points sont retranchés pour un écart égal à l' écart type obtenu à partir des valeurs de la population testée [ 58 ]. Pour cette raison, en pratique, la courbe de répartition du QI est modélisée par la courbe en cloche de la loi normale centrée en et d'écart type Cependant cette modélisation est remise en cause par certains scientifiques.

Le quotient intellectuel ne serait alors qu'une approximation de mesure de l'intelligence humaine dont on ne connaît pas l'erreur. J'aime les valeurs féminines. En ce moment je fais des essayages pour une couturière je remplace sa fille, devenue mannequin.

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